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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5: Derivada

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7. Sean ff y gg funciones tales que f(x)=1+x,g′(x)=cos⁡2(3x)+1f(x)=1+\sqrt{x}, g^{\prime}(x)=\cos ^{2}(3 x)+1 y g(0)=4g(0)=4. Calcule (f∘g)′(0)(f \circ g)^{\prime}(0) y (g∘f)′(0)(g \circ f)^{\prime}(0).

Respuesta

Atenti acá. Tenemos una función compuesta (f∘g)(x) (f \circ g)(x) , esto era lo mismo que f(g(x))f(g(x)), no? Y así quizás se ve mucho más claro cómo lo vamos a derivar usando la regla de la cadena. Nos queda:

(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x) (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

(o sea, derivo primero lo de afuera, y multiplico por la derivada de lo de adentro... en este caso, "lo de adentro" es g(x)g(x))

Nosotrxs necesitamos encontrar (f∘g)′(0)(f \circ g)^{\prime}(0), entonces evaluamos en x=0x=0

(f∘g)′(0)=f′(g(0))⋅g′(0) (f \circ g)'(0) = f'(g(0)) \cdot g'(0)

g(0)g(0) es dato y vale 44, entonces:

(f∘g)′(0)=f′(4)⋅g′(0) (f \circ g)'(0) = f'(4) \cdot g'(0)

La derivada de f(x)=1+x f(x) = 1 + \sqrt{x} es:
f′(x)=12x f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Por lo tanto, f′(4)=14f'(4) = \frac{1}{4}

Y la derivada de gg ya nos la dan, es g′(x)=cos⁡2(3x)+1 g'(x) = \cos^2(3x) + 1

Con lo cual, g(0)=2g(0) = 2

Reemplazamos en nuestra expresión:

(f∘g)′(0)=f′(4)⋅g′(0) (f \circ g)'(0) = f'(4) \cdot g'(0)

(f∘g)′(0)=14⋅2=12 (f \circ g)'(0) = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}

Ahora vamos a usar razonamientos similares para calcular (g∘f)′(0)(g \circ f)^{\prime}(0)

Aplicamos regla de la cadena:

(g∘f)′(x)=g′(f(x))⋅f′(x) (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)

Evaluamos en x=0x=0

(g∘f)′(0)=g′(f(0))⋅f′(0) (g \circ f)'(0) = g'(f(0)) \cdot f'(0)

Y acá hay un problema, porque f′(0)f'(0) no está definida (mirá bien la derivada de ff, podés evaluarla en x=0x=0? cuál es el dominio de f′(x)f'(x)?). Por lo tanto, (g∘f)′(0) (g \circ f)'(0) no está definida, es decir, no existe. También, podrías decir que la función (g∘f)(x) (g \circ f)(x) no es derivable en x=0x=0.
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Luisa
23 de mayo 20:37
Hola profe, buenas noches, una pregunt...
no logro entender como encontraste ese 2 de la funcion en g, es decir, "con lo cual, g(0)=2 de donde salio ese 2, antes de empezar a usar la regla de la cadena.
0 Responder
Flor
PROFE
23 de mayo 21:34
@Luisa Hola Luisa! Si te referis a esta parte:

Y la derivada de gg ya nos la dan, es g′(x)=cos⁡2(3x)+1g'(x) = \cos^2(3x) + 1

Con lo cual, g′(0)=2g'(0) = 2

Hubo un error de tipeo y escribi g(0)=2g(0) = 2, y debería decir g′(0)=2g'(0) = 2 

O sea, ahi lo que hicimos fue evaluar g′(x)g'(x) en x=0x=0, fijate que te queda:

g′(0)=cos⁡2(0)+1=1+1g'(0) = \cos^2(0) + 1 = 1 + 1

(porque cos⁡(0)=1\cos(0) = 1)
0 Responder
Flor
PROFE
23 de mayo 21:35
@Luisa Ahi lo acabo de editar, qué bueno que te diste cuentaaa!
0 Responder